---from JR-23
Турели и перфораторы
Эта статья содержит все найденные нами файлы Конструкторов по теории гибридных флотов. Мы считаем, что эту часть Конструкторы разрабатывали не сами, а получили от Темного Шеридана.
Формула FirstAnonimous представляется весьма перспективной в анализе эффективности тех или иных флотов и определении оптимальных вариантов. В этой статье мы намереваемся привести анализ поиска наиболее подходящих калибров турелей, перфораторов и соотношений между турелями и перфораторами.
Для начала отметим, что формула FA (*) дает в качестве эффективности величину следующего вида (несколько преобразована от оригинала):
F(a[p],a[t],c) = (a[p] + c*a[t]) * (1 / (p(a[p], d[p]) + c * p(a[t], d[p]) + p(a[p], d[t]) +
+c * p(a[t], d[t])) + beta/(p(a[p], d[t]) + c * p(a[t], d[t])))
a[t] - атака нашей турели.
a[p] - атака нашего перфоратора.
d[t] - защита вражеских стреляющих кораблей.
d[p] - защита вражеской прикрышки.
c - отношение числа пушек турели к числу пушек перфоратора.
p(a,d) - вероятность уничтожения корабля с защитой d при попадании в него из пушки калибра a.
beta - количество вражеских стреляющих кораблей, деленное на удвоенное количество вражеской прикрышки.
Минимум функции F соответствует наилучшему (с нашей стороны) набору a[p], a[t], c. Функция F аналитична, хоть и кусочно задана. Последнее обстоятельство связано с тем, что вероятность p не меньше 0, не больше 1.
При 0<p(a,d)<1 имеем p=l(4*a/d), где l(x) - логарифм от x по основанию 16.
Итак, аналитически заданы следующие участки (области) F:
1) p(a[p], d[t]) >> 0, p(a[t], d[p]) = 1 - в данной области наш перфоратор может пробить вражеский стрелковый корабль, а вражеская прикрышка не может выжить при попадании нашей турели.
2) p(a[p], d[t]) >> 0, p(a[t], d[p]) < 1 - в данной области наш перфоратор может пробить вражеский стрелковый корабль, а вражеская прикрышка может выжить при попадании нашей турели.
3) p(a[p], d[t]) = 0, p(a[t], d[p]) = 1 - в данной области наш перфоратор не может пробить вражеский стрелковый корабль, а вражеская прикрышка не может выжить при попадании нашей турели.
4) p(a[p], d[t]) = 0, p(a[t], d[p]) < 1 - в данной области наш перфоратор не может пробить вражеский стрелковый корабль, а вражеская прикрышка может выжить при попадании нашей турели.
5-6) пока не определяем.
Для каждого участка 1-4 решаем следующую систему уравнений:
dF/da[p] = (1 / c) * dF/da[p] = (1 / a[t]) * dF/dc = 0 , где da/db - частная производная.
Не вдаваясь в излишне громоздкие записи, укажем решения.
Для области (1) и области (2) система получается несовместна.
Для области (3) и для области (4) получается, что:
a[p] = e*d[p]/4 - небезызвестная формула Грега, но верная только для перфораторов.
Для турелей, однако, калибры получаются разными в областях 3 и 4.
Для (3) калибр турели: a[t]=e*d[t]/4 * exp(Wl(-ln16 * d[p]/d[t]))
Для (4) калибр турели: a[t]=e*d[t]/4 * exp(Wl(-ln(d[t]/d[p])*d[p]/d[t]))
Wl(x) - W функция Ламберта (**), задаваемая выражением x = Wl(x) * exp(Wl(x)).
Разумеется, в обоих случая нужно еще смотреть, подходят ли калибры под условия области 3 или 4, но это отдельный разговор. Простейший анализ показывает, что решения 3 и 4 принципиально различны, то есть не являются аналитически заданными кусками одного решения.
Что касается параметра c (отношения числа пушек турели к числу пушек перфоратора), то он задается решением квадратного уравнения:
beta * (l(e) + c*(1 + l(4 * a[t]/d[t])))^2 = (a[t]/a[p] - 1)*c^2 * l(4 * a[t]/d[t])^2 - для области (3)
beta * (l(e) + c* l(4*a[t]/d[p]) + c * l(4 * a[t]/d[t]))^2=(a[t]/a[p] - 2) * c^2*l(4*a[t]/d[t])^2 - для области (4).
В обоих случаях только один корень положителен и только положительный корень и является недостающим параметром решения.
Но это не так интересно. Куда интереснее вопрос: что же случается, когда ни в области (3), ни в области (4) не находится оптимума?
Такое всегда бывает, к примеру, при d[t]/d[p] < e - тогда перфоратор пробивает защиту вражеских турелей, не выполняется исходное условия для (3) и (4).
Тогда один из параметров a[p], a[t], c должен уходить в 0 либо бесконечность.
Очевидно, что по определению ни атака перфоратора a[p], ни атака турели a[t] указанному условию не соответствует.
Соответственно, параметр c - либо 0, либо бесконечность, то есть в составе флота остались либо только турели, либо только перфораторы. Другими словами, корабль только одного калибра одновременно выполняет функции и перфоратора, и турели.
Такие корабли будем звать гибридами. Для них задача принимает вид.
F = F(a) = a * (1/(p(a, d[p]) + p(a,d[t])) + beta/(p(a,d[t])))
Для нее как раз и нужны области (5) и (6):
5) p(a,d[p]) = 1 - в данной области гибрид пробивает вражескую прикрышку со 100%-ной вероятностью.
6) p(a,d[p]) < 1 - в данной области вражеская прикрышка может пережить попадание гибрида.
Калибр, увы, аналитически не выводится, но определяется численно. Оказывается, что решения области (5) хуже решений из областей (3), (4), (6). Небольшая программа показывает карту оптимальности тех или иных видов решений.
Принципиально важными являются лишь 2 параметра: отношение защиты вражеских боевых кораблей к защите вражеской прикрышки (delta = d[t]/d[p]) и количество вражеских стреляющих кораблей, деленное на удвоенное количество вражеской прикрышки (beta).
Ниже в таблице приведена карта оптимальности того или иного решения в зависимости от параметров delta и beta:
delta 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0
===================================================
beta=0.001 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4
beta=0.002 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4
beta=0.003 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4
beta=0.004 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4
beta=0.005 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4
beta=0.006 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4
beta=0.007 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4
beta=0.008 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4
beta=0.009 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4
beta=0.010 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4
beta=0.011 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4
beta=0.012 6 6 6 6 4 6 6 6 4 4
beta=0.013 6 6 6 6 4 6 6 6 4 4
beta=0.014 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4
beta=0.015 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4
beta=0.016 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
beta=0.017 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
beta=0.018 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
beta=0.019 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
beta=0.020 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
delta 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0
====================================
beta=0.001 4 4 6 6 3 3
beta=0.002 4 4 6 6 3 3
beta=0.003 4 4 6 6 3 3
beta=0.004 4 4 6 6 3 3
beta=0.005 4 4 6 6 3 3
beta=0.006 4 4 6 6 3 3
beta=0.007 4 4 6 6 3 3
beta=0.008 4 4 6 6 3 3
beta=0.009 4 4 6 6 3 3
beta=0.010 4 4 6 6 3 3
beta=0.011 4 4 6 6 3 3
beta=0.012 4 4 6 6 3 3
beta=0.013 4 4 6 6 3 3
beta=0.014 4 4 6 6 3 3
beta=0.015 4 4 6 6 3 3
beta=0.016 4 4 6 6 3 3
beta=0.017 4 4 6 6 3 3
beta=0.018 4 4 6 6 3 3
beta=0.019 4 4 6 6 3 3
beta=0.020 4 4 6 6 3 3
Любопытен факт разрыва между областями (3) и (4). Более подробная карта показывает, что переход к промежуточной области (6) происходит при конкретных значениях delta (8.47 и 9.43, можно указать точнее) и не определяется beta вообще.
Более того, переход к области (4) при малых beta (да и beta = 0.012-0.013) происходит строго при delta = 4.00, а не при delta = e.
Последнее, видимо, связано с тем, что в правилах фигурирует логарифм по основанию 4, но чисто математически обосновать это мы не можем.
В реальных же ситуациях на один стрелковый корабль приходится 50 шилдодронов, так что beta порядка 0.01, а delta - порядка 5. Примерно в этой области проходит граница между регионами оптимальности решения (4) и решения (6), разница между функциями F для (6) и (4) несущественна, то есть оба вида решений имеют право на существование.
Вывод: таким образом, нами было показано достаточно теоретических оснований для гибридных флотов на основании исходной формулы FirstAnonymous. Кроме того, найдено решение для калибра турели и отношения массы турели к массе перфоратора в классическом флоте.
* Сущность и математический смысл формулы FirstAnonimous подробно описаны, например, здесь: http://www.galaxyclub.ru/gc/53/53.html#3
** Подробнее о функции Ламберта - http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function